Zwei Vektoren \(x, y \in \mathbb{R}^{n}\) hei脽en orthogonal (in Zeichen \(x \perp
y\) ), wenn \(\langle x, y\rangle=0\). Sind \(x, y \neq 0\), so gilt offenbar
$$
x \perp y \Leftrightarrow \angle(x, y)=\frac{\pi}{2}
$$
Ist \(L=v+\mathbb{R} w \subset \mathbb{R}^{n}\) eine Gerade, so hei脽t \(s \in
\mathbb{R}^{n}\) orthogonal zu \(L\), wenn \(\langle s, x-y\rangle=0\) f眉r alle \(x,
y \in L .\) Zeigen Sie:
a) Ist \(L=v+\mathbb{R} w \subset \mathbb{R}^{n}\) eine Gerade und \(s \in
\mathbb{R}^{n}\), so gilt: \(s\) ist orthogonal zu \(L \Leftrightarrow s \perp w\)
b) Ist \(L=\left\\{\left(x_{1}, x_{2}\right) \in \mathbb{R}^{2}: a_{1}
x_{1}+a_{2} x_{2}=b\right\\}\) eine Gerade im \(\mathbf{R}^{2}\), so ist
\(\left(a_{1}, a_{2}\right)\) orthogonal zu \(L\).
Zu einer Geraden orthogonale Vektoren kann man benutzen, um den k茂rzesten
Abstand zwischen einem Punkt und einer Geraden zu bestimmen. Ist
\(L=v+\mathbb{R} w \subset \mathbf{R}^{n}\) eine Gerade und \(u \in
\mathbb{R}^{n}\), so ist der Abstand zwischen \(u\) und \(L\) definiert als
$$
d(u, L):=\min \\{\|x-u\|: x \in L\\}
$$
Zeigen Sie, dass f眉r den Abstand zwischen \(u\) und \(L\) gilt:
c) Es gibt ein eindeutig bestimmtes \(x \in L\), so dass \((x-u)\) orthogonal zu
\(L\) ist. F眉r \(x\) gilt \(d(u, L)=\|x-u\|\) (d. h. der senkrechte Abstand ist der
kilrzeste).
F眉r Geraden im \(\mathbb{R}^{2}\) kann man den Abstand von einem Punkt noch
einfacher beschreiben.Es gilt:
d) Ist \(L \subset \mathbb{R}^{2}\) eine Gerade, \(s \in \mathbb{R}^{2}
\backslash\\{0\\}\) orthogonal zu \(L\) und \(v \in L\) beliebig, so ist
$$
L=\left\\{x \in \mathbb{R}^{2}:\langle s, x-v\rangle=0\right\\}
$$
Ist \(u \in \mathbb{R}^{2}\), so folgt aus \(\mathrm{c}\) ), dass
$$
d(u, L)=\frac{|\langle s, u-v\rangle|}{\|s\|}
$$
Ist speziell \(L=\left\\{\left(x_{1}, x_{2}\right) \in \mathbb{R}^{2}: a_{1}
x_{1}+a_{2} x_{2}=b\right\\}\) und \(u=\left(u_{1}, u_{2}\right)\), so ergibt
sich
$$
d(u, L)=\frac{\left|a_{1} u_{1}+a_{2}
u_{2}-b\right|}{\sqrt{a_{1}^{2}+a_{2}^{2}}}
$$
Mit Hilfe von d) k枚nnen wir nun f眉r Gleichungen von Geraden im
\(\mathbf{R}^{2}\) die sogenannte Hessesche Normalform herleiten: Ist \(s \in
\mathbb{R}^{2} \backslash\\{0\\}\) orthogonal zur Geraden \(L \subset
\mathbb{R}^{2}\), sc sei \(n:=\frac{1}{\|s\|} \cdot s .\) Dann ist \(\|n\|=1\). Man
nennt \(n\) einen Normalenvektor zu \(L\); nach d) gill f眉r beliebiges \(v \in L\),
dass
$$
L=\left\\{x \in \mathbb{R}^{2}:\langle n, x-v\rangle=0\right\\}
$$
F眉r jedes \(u \in \mathbb{R}^{2}\) gilt dann \(d(u, L)=|\langle n, u-v\rangle|\),
die Funktion \(\langle n, u-v\rangle\) misst also \(\mathrm{mi}\) Vorzeichen den
Abstand von \(u\) zu \(L\).$$
L=\left\\{x \in \mathbb{R}^{2}:\langle n, x-v\rangle=0\right\\}
$$
F眉r jedes \(u \in \mathbb{R}^{2}\) gilt dann \(d(u, L)=|\langle n, u-v\rangle|\),
die Funktion \(\langle n, u-v\rangle\) misst also mit Vorzeichen den Abstand von
\(u\) zu \(L\).
Bild \(5.5\)
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