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Wir wollen eine Methode angeben, um die Inverse einer Matrix auszurechnen: Sei dazu \(A \in \mathrm{M}(n \times n ; K)\) invertierbar, d. h. rang \(A=n .\) Zeigen Sie: Ist $$ x^{i}=\left(\begin{array}{c} x_{1 i} \\ \vdots \\ x_{n i} \end{array}\right) $$ die L?sung des Gleichungssystems \(A x=e_{i}\), so ist $$ A^{-1}=\left(\begin{array}{ccc} x_{11} & \ldots & x_{1 n} \\ \vdots & & \vdots \\ x_{n 1} & \ldots & x_{n n} \end{array}\right) $$ Berechnen Sie auf diese Weise die inverse Matrix von $$ A=\left(\begin{array}{rrrr} 1 & 1 & 2 & 4 \\ 1 & 3 & 4 & -2 \\ 0 & 1 & 3 & 6 \\ 1 & 3 & 5 & 3 \end{array}\right) $$.

Für eine differenzierbare Abbildung $$ f: \mathbb{R}^{n} \rightarrow \mathbb{R}^{m}, \quad x \mapsto\left(f_{1}(x), \ldots, f_{m}(x)\right) $$ ist die Jacobi-Matrix von \(f\) im Punkt \(x\) definiert durch $$ \operatorname{Jac}_{x} f:=\left(\frac{\partial f_{i}}{\partial x_{j}}(x)\right) $$ Ist \(m=1\) und \(f\) zweimal stetig partiell differenzierbar, so versteht man unter der HesseMatrix von \(f\) im Punkt \(x\) die Matrix $$ \operatorname{Hess}_{x} f:=\left(\frac{\partial^{2} f}{\partial x_{i} \partial x_{j}}(x)\right) $$ a) Berechnen Sie die Jacobi-Matrix einer linearen Abbildung \(F: \mathbf{R}^{n} \rightarrow \mathbf{R}^{m}, x \mapsto A x\), wobei \(A \in \mathrm{M}(m \times n ; \mathbf{R})\). b) Sei $$ P: \mathbf{R}^{n} \rightarrow \mathbb{R}, \quad\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right) \mapsto \sum_{i \leq j} a_{i j} x_{i} x_{j}+\sum_{i=1}^{n} b_{i} x_{i} $$ wobei \(a_{i j}, b_{i} \in \mathbb{R}\). Berechnen Sie die Jacobi-Matrix und die Hesse-Matrix von \(P\).