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The kernel of a linear transformation $T\left(\stackrel{鈫�}{x}\right)=A\stackrel{鈫�}{x}$from

$$\begin{gathered} {\mathrm{鈩�}}^{\mathrm{m}}\mathrm{to}{\mathrm{鈩�}}^{\mathrm{n}}\mathrm{is}\mathrm{the}\mathrm{solution}\mathrm{set}\mathrm{of}\mathrm{linear}\mathrm{system}\mathrm{A}\stackrel{鈫�}{\mathrm{x}}=0. \\ \mathrm{Also},\mathrm{the}\mathrm{property}\mathrm{below}\mathrm{is}\mathrm{true}\mathrm{for}\ker \left(\mathrm{A}\right); \\ ker\mathit{\left(}{A}^{\mathit{3}}\mathit{\right)}\mathit{鈯�}ker\mathit{\left(}{A}^{\mathit{4}}\mathit{\right)} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathrm{Consider}\mathrm{a}\mathrm{matrix}\mathrm{A}\mathrm{with}\ker \left(A^{\mathit{2}}\mathit{\right)}=ker\left(A^3\right). \\ \mathrm{prove}\mathrm{the}\mathrm{equality}\ker \mathit{\left(}{A}^{\mathit{3}}\right)=\ker \mathit{\left(}{A}^{\mathit{4}}\right)\mathrm{as}\mathrm{shown}\mathrm{below}. \\ \mathrm{The}\mathrm{first}\mathrm{step}\mathrm{is}\mathrm{to}\mathrm{prove}\mathrm{thatker}\left({\mathrm{A}}^3\right)鈯�\mathrm{ke}r\mathit{\left(}{A}^{\mathit{4}}\mathit{\right)}.\mathrm{The}\mathrm{same}\mathrm{can}\mathrm{be}\mathrm{bserved}\mathrm{from}\mathrm{the} \\ \mathrm{property}\left(1\right)\mathrm{of}\mathrm{kernel}\left(\mathrm{A}\right).\mathrm{Therefore},\ker \left({\mathrm{A}}^3\right) \\ \mathit{鈯�}ker\mathit{}\mathit{\left(}{A}^{\mathit{4}}\right).\mathrm{This}\mathrm{concludes}\mathrm{the}\mathrm{first}\mathrm{part}\mathrm{of}\mathrm{the}\mathrm{proof}. \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathrm{The}\mathrm{next}\mathrm{step}\mathrm{is}\mathrm{to}\mathrm{prove}\mathrm{that}\ker \left({\mathrm{A}}^4\right)鈯�\ker \left({\mathrm{A}}^3\right).\mathrm{Let}\stackrel{鈫�}{\mathrm{x}}鈭�\ker \left({\mathrm{A}}^3\right). \\ \mathrm{Then}\mathrm{use}\mathrm{the}\mathrm{defination}\mathrm{of}\mathrm{kernal}\mathrm{of}\mathrm{a}\mathrm{linear}\mathrm{transformation}\mathrm{to}\mathrm{obtain}; \\ {\mathrm{A}}^4\stackrel{鈫�}{\mathrm{x}}=0 \\ \mathrm{Implies}; \\ {\mathrm{A}}^3\left(\mathrm{A}\stackrel{鈫�}{\mathrm{x}}\right)=0 \\ \mathrm{Implies}; \\ \mathrm{A}\stackrel{鈫�}{\mathrm{x}}鈭�\ker \left({\mathrm{A}}^3\right) \\ \mathrm{Since},\ker \left({\mathrm{A}}^2\right)=\ker \left({\mathrm{A}}^3\right) \\ \mathrm{Therefore}; \\ \mathrm{A}\stackrel{鈫�}{\mathrm{x}}鈭�\ker \left({\mathrm{A}}^2\right) \\ \mathrm{Again}\mathrm{use}\mathrm{it}\mathrm{and}\mathrm{the}\mathrm{defination}\mathrm{of}\mathrm{the}\mathrm{kernel}\mathrm{of}\mathrm{the}\mathrm{linear}\mathrm{transformation}\mathrm{to}\mathrm{obtain}; \\ {\mathrm{A}}^2\left(\mathrm{A}\stackrel{鈫�}{\mathrm{x}}\right)=0 \\ \mathrm{Implies}; \\ {\mathrm{A}}^3\stackrel{鈫�}{\mathrm{x}}=0 \\ \mathrm{Implies}; \\ \stackrel{鈫�}{\mathrm{x}}鈭�\ker \left({\mathrm{A}}^3\right) \\ \mathrm{Therefore}; \\ \ker \left({\mathrm{A}}^4\right)鈯�\ker \left({\mathrm{A}}^3\right) \\ \mathrm{Hence}\mathrm{we}\mathrm{can}\mathrm{conclude}\mathrm{that}\boxed{\ker \left({\mathrm{A}}^2\right)鈯�\ker \left({\mathrm{A}}^3\right)} \end{gathered}$$