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Gegeben sei die Funktion \(f: X \rightarrow Y . A\) bzw \(B\) stehe füt Teilmengen aus \(X\) bzw \(Y\), ferner sei \(A^{\prime}:=X \backslash A\) und \(B^{\prime}:=Y \backslash B\) Zeige: a) \(A_{1} \subset A_{2} \rightarrow f\left(A_{1}\right) \subset f\left(A_{2}\right), B_{1} \subset B_{2} \rightarrow f^{-1}\left(B_{1}\right) \subset f^{-1}\left(B_{2}\right) ;\) d) \(f^{-1}\left(B^{\prime}\right)=\left(f^{-1}(B)\right)^{\prime}\)

Zeige an Selbstabbildungen von \(X\), daB \(f \circ g\) nicht mit \(g \circ f\) übereinzustimmen braucht: Für die Komposition gilt kein Kommutativgesetz. Dagegen gilt das Assoziativgesetz \(f \circ(g \circ h)=(f \circ g) \circ h\), falls das linksstehende Kompositum existiert.

Sei \(f: X \rightarrow Y\) gegeben. Zeige: a) \(f\) ist injektiv \(\leftrightarrow\) es gibt ein \(g: Y \rightarrow X\) mit \(g \circ f=i d_{x}\) b) \(f\) ist surjektiv \(\leftrightarrow\) es gibt ein \(h: Y \rightarrow X\) mit \(f \circ h=i d_{\gamma}\) c) \(f\) ist bijektiv \(\Leftrightarrow\) es gibt ein \(g: Y \rightarrow X\) mit \(g \circ f=i d_{x}, f \circ g=i d_{Y}\) Dieses g ist, falls vorhanden, eindeutig bestimmt

Sind \(g: X \rightarrow Y\) und \(f: Y \rightarrow Z\) gegeben, so ist \((f \circ g)^{-1}(C)=g^{-1}\left(f^{-1}(C)\right)\) für jedes \(C \subset Z\). Sind überdies \(\mathrm{g}\) und \(f\) bijektiv, so ist auch \(f \circ \mathrm{g}\) bijektiv und \((f \circ \mathrm{g})^{-1}=\mathrm{g}^{-1} \circ f^{-1}\)