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Kozykel Die Übergangsfunktionen \(g_{U V}: U \cap V \rightarrow G\) eines \(G\)-Faserbündels erfüllen \(g_{U V} g_{V W} g_{W U}=\) id auf \(U \cap V \cap W .\) Insbesondere gelten \(g_{V U}=g_{U V}^{-1}\) und \(g_{U U}=\) id.

Gelinst Für die Linsenräume (vgl. Beispiel nach Folgerung 9.5) gilt \(\pi_{1}(L(m ; p, q)) \cong \mathbb{Z} / m\)

Die Hopf-Abbildung Man benutze das Faserbündel \(S^{3} \rightarrow \mathbb{C} P^{1} \cong S^{2}\) mit Faser \(S^{1}\), um einen Isomorphismus $$ \pi_{3}\left(S^{2}\right) \cong \pi_{3}\left(S^{3}\right) $$

Tangential an Geraden Das Tangentialbündel von \(\mathbb{R} P^{n}\) ist das Quotientbündel aus dem Tangentialbündel von \(S^{n}\), wobei \((b, x)\) mit \((-b,-x)\) identifiziert wird. Konstruieren Sie einen Atlas.

Koränder Seien \(g_{U V}: U \cap V \rightarrow G\) die Übergangsfunktionen eines trivialen \(G\) Faserbündels. Dann gibt es stetige Abbildungen \(f_{U}: U \rightarrow G\) auf den Überdeckungsmengen \(U\) des Atlanten, so dass \(g_{U V}=f_{U} f_{V}^{-1}\) auf \(U \cap V\) gilt.

Basen von Vektorraumbündeln Zeigen Sie, dass ein \(k\)-dimensionales Vektorraumbündel \(V \rightarrow B\) genau dann trivial ist, wenn es \(k\)-Schnitte \(v_{1}, v_{2}, \ldots, v_{k}\) gibt, deren Werte \(v_{1}(b), v_{2}(b), \ldots, v_{k}(b)\) für jedes \(b\) in der Faser über \(b\) eine Basis bilden. Nur triviale Vektorraumbündel haben also Basen.