91Ó°ÊÓ

$E:2x_1+2x_2+x_3=3$

$A\left(a\right|0|-1)$

Setze die Koordinaten von $A$in die Ebenengleichung ein:

$$\begin{gathered} 2·a+2·0+(-1)=3 \\ 2a-1=3\overline{)+1} \\ 2a=4\overline{):2} \\ a=2 \end{gathered}$$

Der Punkt$\left(2\right|0|-1)$liegt also in$E$.

$E:2x_1+2x_2+1x_3=3⇒\stackrel{â‡\P Ä}{u_E}=\left(\begin{array}{c}2\\ 2\\ 1\end{array}\right)$

$B\left(1\right|3\left|4\right)$

Die gesuchte Gerade soll durch B verlaufen und senkrecht auf E stehen.

Es muss also gelten: $\stackrel{â‡\P Ä}{u_E}âˆ\yen \stackrel{â‡\P Ä}{u}$

Also: $\stackrel{â‡\P Ä}{u}=r·\stackrel{â‡\P Ä}{u_E}$

°Âä³ó±ô±ð $r=1$, also $\stackrel{â‡\P Ä}{u}=\stackrel{â‡\P Ä}{u_E}$, da das am einfachsten ist.

Es ergibt sich also folgende Geradengleichung:

$g:\stackrel{â‡\P Ä}{X}=\stackrel{â‡\P Ä}{B}+\mathrm{λ}·\stackrel{â‡\P Ä}{u}=\left(\begin{array}{c}1\\ 3\\ 4\end{array}\right)+\mathrm{λ}·\left(\begin{array}{c}2\\ 2\\ 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}1& +& 2\mathrm{λ}\\ 3& +& 2\mathrm{λ}\\ 4& +& 1\mathrm{λ}\end{array}\right)$

Bestimmung des Schnittpunkts von g und E:

1. Setze die Gerade g in E ein
2. Löse die entstandene lineare Gleichung nach $\mathrm{λ}$auf
3. Setze $\mathrm{λ}$in die Geradengleichung ein

Zu 1.:

$2·(1+2\mathrm{λ})+2·(3+\mathrm{λ})+1·(4+1\mathrm{λ})=3$

Zu 2.:

$$\begin{gathered} 2+4\mathrm{λ}+6+4\mathrm{λ}+4+\mathrm{λ}=3 \\ 12+9\mathrm{λ}=3\overline{)-12} \\ 9\mathrm{λ}=-9\overline{):9} \\ \mathrm{λ}=-1 \end{gathered}$$

Zu 3.:

localid="1644778717797" $\stackrel{â‡\P Ä}{S}=\left(\begin{array}{c}1\\ 3\\ 4\end{array}\right)+(-1)·\left(\begin{array}{c}2\\ 2\\ 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}1& -& 2\\ 3& -& 2\\ 4& -& 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-1\\ 1\\ 3\end{array}\right)$

Also gilt für den Schnittpunkt von g und E:

$S(-1|1\left|3\right)$.