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Zeigen Sie, daß eine auf \([0, \infty)\) definierte, nichtwachsende Funktion \(\varphi\), die der C a u c hy's ch e n F u n k t i o n a lg l e i ch u ng $$ \varphi(\mathrm{s}+\mathrm{t})=\varphi(\mathrm{s}) \varphi(\mathrm{t}) \quad, \quad \mathrm{s} \geq 0, \mathrm{t} \geq 0 $$ genügt, gleich \(\mathrm{e}^{-\lambda \mathrm{t}}\) fur ein \(\lambda>0\) sein \(\mathrm{mu} \beta .\) Daher hat eine positive zufällige Variable T die Eigenschaft $$ P(T>s+t \mid T>s)=P(T>t) \quad, \quad s \geq 0, t \geq 0 $$ genau dann, wenn sie einer Exponentialverteilung gehorcht. [Hinweis: \(\varphi(0)=1\); \(\varphi(1 / n)=\alpha^{1 / n}\), wobei \(\alpha=\varphi(1) ; \varphi(m / n)=a^{m / n} ;\) wenn \(m / n \leqslant t<(m+1) / n\), dann ist \(\alpha^{(\mathrm{m}+1) / \mathrm{n}} \leqslant \varphi(t) \leqslant \alpha^{\mathrm{m} / \mathrm{n}}\); daraus schließt man die Aussage für allgemeines \(t\), indem man n gegen \(\infty\) gehen läßt.]

Eine Nadel der Länge 1 wird auf eine Tafel geworfen, auf der parallele Geraden im Abstand d gezogen sind, wobei \(d>1 .\) Der Abstand des Nadelmittelpunkts zur nächsten Geraden sei \(\mathrm{x}\) und der Winkel, den die Nadel mit dem Lot auf die nächste Gerade bildet, sei \(\theta\). Man nimmt an, daß \(\mathrm{x}\) und \(\theta\) unabhängige zufällige Variable sind und daß beide ?ber ihrem Wertebereich gleichverteilt sind. Mit welcher Wahrscheinlichkeit schneidet die Nadel eine Gerade ? Diese Aufgabe ist unter dem Namen "Buffon'sches Problem" bekannt und ihre Lösung eröffnet eine Möglichkeit [eine sogenannte Monte-Carlo Methode] zur empirischen Bestimmung von \(\pi\).