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Chapter 4: Problem 13

Bestimmen Sie f眉r ein \(\mathrm{X}\) mit der Dichte \(\mathrm{f}\) die Dichte (i) von \(\mathrm{aX}+\mathrm{b}\), wobei a und b Konstante sind; (ii) von \(\mathrm{X}^{2}\). (Hinweis: berechnen Sie erst die Verteilungsfunktion!)

Short Answer

Expert verified
(i) \( f_Y(y) = \left| \frac{1}{a} \right| f_X(\frac{y - b}{a}) \) (ii) \( f_Z(z) = \frac{d}{dz} \int_{-\sqrt{z}}^{\sqrt{z}} f_X(x) \, dx \)

Step by step solution

01

Schritt 1 - Grundlegende Eigenschaften der Dichtefunktion

Eine Zufallsvariable \(X\) mit Dichte \(f_X(x)\) beschreibt, wie Wahrscheinlichkeiten 眉ber die Realisationen von \(X\) verteilt sind. Die Dichtefunktion ist nicht-negativ und ihre Integration 眉ber alle m枚glichen Werte ergibt 1.
02

Schritt 2 - Bestimmen der Verteilungsfunktion f眉r \(aX + b\)

Bestimme die Verteilungsfunktion \(F_Y(y)\) f眉r \(Y = aX + b\), indem zuerst \(P(aX + b \leq y)\) berechnet wird:\[ F_Y(y) = P(Y \leq y) = P(aX + b \leq y) \]
03

Schritt 3 - Vereinfachung der Ungleichung

Vereinfachung der Ungleichung innerhalb der Verteilungsfunktion ergibt:\[ P(aX + b \leq y) = P(X \leq \frac{y - b}{a}) \text{, wenn } a > 0 \]\[ P(aX + b \leq y) = P(X \geq \frac{y - b}{a}) \text{, wenn } a < 0 \]
04

Schritt 4 - Ableitung der Dichtefunktion f眉r \(aX + b\)

Leite die Verteilungsfunktion ab, um die Dichtefunktion \(f_Y(y)\) zu erhalten:\[ f_Y(y) = \left| \frac{1}{a} \right| f_X\bigg(\frac{y - b}{a}\bigg) \text{, wenn } a \eq 0 \]
05

Schritt 5 - Bestimmen der Verteilungsfunktion f眉r \(X^2\)

Bestimme die Verteilungsfunktion \(F_Z(z)\) f眉r \(Z = X^2\), indem zuerst \(P(X^2 \leq z)\) berechnet wird:\[ F_Z(z) = P(Z \leq z) = P(X^2 \leq z) = P(-\sqrt{z} \leq X \leq \sqrt{z}) \]
06

Schritt 6 - Integrieren der Dichtefunktion

Teile das Intervall der Wahrscheinlichkeiten auf und integriere die Dichtefunktion \(f_X(x)\):\[ F_Z(z) = \int_{-\sqrt{z}}^{\sqrt{z}} f_X(x) \, dx \]
07

Schritt 7 - Ableiten der Verteilungsfunktion zur Dichtefunktion

Leite die Verteilungsfunktion \(F_Z(z)\) ab, um die Dichtefunktion \(f_Z(z)\) zu erhalten:\[ f_Z(z) = \frac{d}{dz} F_Z(z) = \frac{d}{dz} \int_{-\sqrt{z}}^{\sqrt{z}} f_X(x) \, dx \]

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Key Concepts

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Verteilungsfunktion
Die Verteilungsfunktion einer Zufallsvariable beschreibt, wie die Wahrscheinlichkeiten 眉ber m枚gliche Werte der Zufallsvariable verteilt sind. Sie ist eine monotone, nicht abnehmende Funktion, die den Wert null f眉r die unteren Grenzen und den Wert eins f眉r die oberen Grenzen annimmt. Das hei脽t, wenn Sie die Verteilungsfunktion auswerten, erhalten Sie die Wahrscheinlichkeit, dass die Zufallsvariable kleiner oder gleich einem bestimmten Wert ist.
Zufallsvariable
Eine Zufallsvariable ist eine Variable, deren Wert von einem Zufallsexperiment abh盲ngt. Zufallsvariablen k枚nnen diskret oder stetig sein. Bei diskreten Zufallsvariablen gibt es eine abz盲hlbare Anzahl von m枚glichen Ergebnissen. Bei stetigen Zufallsvariablen hingegen k枚nnen die m枚glichen Werte auf einem Intervall der reellen Zahlen liegen.
Integration
Integration ist ein grundlegendes mathematisches Werkzeug, das verwendet wird, um Fl盲chen unter Kurven zu berechnen. Bei der Berechnung der Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion wird Integration verwendet, um die Gesamtwahrscheinlichkeit 眉ber alle m枚glichen Werte der Zufallsvariable zu summieren. In der gegebenen Aufgabe ist die Integration entscheidend, um die Verteilungsfunktion f眉r verschiedene Transformationen der Zufallsvariable zu bestimmen.
Differentiation
Differentiation ist das mathematische Verfahren, um die 脛nderungsrate einer Funktion zu bestimmen. Bei Wahrscheinlichkeitsdichtefunktionen wird die Differentiation der Verteilungsfunktion verwendet, um die Dichtefunktion zu erhalten. Die Dichtefunktion gibt Auskunft dar眉ber, wie dicht die Wahrscheinlichkeitsmasse an verschiedenen Punkten verteilt ist.

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