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Chapter 1: Problem 11

a) Wie viele verschiedene siebenziffrige Zahlen gibt es, die dreimal die 1 , zweimal die 3 und zweimal die 5 enthalten? b) Wie viele dieser Zahlen beginnen mit 135 ?

Short Answer

Expert verified
a) 210 b) 12

Step by step solution

01

Understand the Problem

The exercise requires finding the number of 7-digit numbers using 1 three times, 3 two times, and 5 two times. Then, we need to find how many of these numbers start with 135.
02

Total Permutations

To determine the total number of different 7-digit numbers, first calculate the permutations of the digits 1, 1, 1, 3, 3, 5, 5. Since there are repetitions, use the formula for permutations of multiset: \ \[ P = \frac{7!}{3!2!2!} \] \ Calculation: \ \[ 7! = 5040 \] \ \[ 3! = 6 \] \ \[ 2! = 2 \] (for both 3's and 5's) \ \[ P = \frac{5040}{6 \cdot 2 \cdot 2} = \frac{5040}{24} = 210 \]
03

Permutations Starting with 135

To find how many numbers begin with 135, consider the remaining 4 digits: 1, 1, 3, 5. Calculate the permutations of these digits: \ \[ P_{135} = \frac{4!}{2!1!1!} \] \ Calculation: \ \[ 4! = 24 \] \ \[ 2! = 2 \] \ \[ P_{135} = \frac{24}{2} = 12 \]

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Key Concepts

These are the key concepts you need to understand to accurately answer the question.

Combinatorial Analysis
Combinatorial analysis is a branch of mathematics that deals with counting, arranging, and finding patterns in sets of elements. It helps us figure out the number of possible configurations or sequences given specific constraints.
When solving problems like finding the number of 7-digit numbers with specific digits and repetitions, we rely on combinatorial principles.
In the given problem, we need to determine how many different sequences can be formed when digits repeat. This involves understanding permutations (arrangements) and using factorial (! ) notation to simplify calculations.
Multiset Permutations
Multiset permutations are used when dealing with repeated elements. If we have to arrange a set where some elements are identical, we can't use the regular permutation formula.
In our problem, we have 1 appearing three times, 3 appearing two times, and 5 appearing two times. The formula to find the number of permutations of such a multiset is:

work using permutations of multiset: \[ P = \frac{n!}{n_1! \cdot n_2!\cdot\ldots\cdot n_k!} \]
where n is the total number of elements and n1, n2, ... nk are the counts of each distinct element.
Basic Probability Theory
Basic probability theory helps us understand the likelihood of events occurring under given conditions. Formulas and concepts of probability can also help in understanding combinatorial problems.
In the given exercise, the probability metric gives us an idea about how likely it is to randomly create a sequence that meets specific criteria.
For instance, after finding 210 different numbers possible overall, we then find how many start with a specific subset of digits (like 135). This helps break down the problem into manageable, comparable parts to understand how common or rare such sequences might be.

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