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We have to evaluate the line integrals in given exercise.

${∫}_{\mathrm{C}}\mathbf{F}(x,y)·d\mathbf{r},\mathrm{where}\mathbf{F}(x,y)=−y\mathbf{i}+x\mathbf{j}$ and C is the spiral role="math" $x=t\cos t,y=t\sin t,\mathrm{for}\mathrm{π}≤t≤2\mathrm{π}$.

Here we have $\mathbf{F}\left(x\right(t),y(t\left)\right)=(-t\sin t,t\cos t)$and

$$\begin{gathered} \frac{\mathbf{d}\mathbf{r}}{\mathbf{d}\mathbf{t}}=\frac{d}{d\mathrm{t}}(\mathrm{tcost},\mathrm{tsint}) \\ \frac{d\mathrm{r}}{d\mathrm{t}}=\left(t\frac{d}{d\mathrm{t}}\mathrm{cost}+\cos t\frac{d}{d\mathrm{t}}t,t\frac{d}{d\mathrm{t}}\mathrm{sint}+\sin t\frac{d}{d\mathrm{t}}t\right) \\ \frac{d\mathrm{r}}{d\mathrm{t}}=\left(-t\sin t+\cos t·1,t\cos t+\sin t·1\right) \\ \frac{d\mathrm{r}}{d\mathrm{t}}=\left(-t\sin t+\cos t,t\cos t+\sin t\right) \\ d\mathbf{r}=\left(-t\sin t+\cos t,t\cos t+\sin t\right)dt \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} {∫}_{\mathrm{C}}\mathbf{F}(\mathrm{x},\mathrm{y})·\mathrm{d}\mathbf{r}={∫}_{\mathrm{π}}^{2\mathrm{π}}(-\mathrm{tsint})(-\mathrm{tsint}+\mathrm{cost})+\left(\mathrm{tcost}\right)(\mathrm{tcost}+\mathrm{sint})\mathrm{dt} \\ {∫}_{\mathrm{C}}\mathbf{F}(\mathrm{x},\mathrm{y})·\mathrm{d}\mathbf{r}={∫}_{\mathrm{π}}^{2\mathrm{π}}-\mathrm{tsint}(-\mathrm{tsint})+\mathrm{cost}(-\mathrm{tsint})+\mathrm{tcost}\left(\mathrm{tcost}\right)+\mathrm{sint}\left(\mathrm{tcost}\right)\mathrm{dt} \\ {∫}_{\mathrm{C}}\mathbf{F}(\mathrm{x},\mathrm{y})·\mathrm{d}\mathbf{r}={∫}_{\mathrm{π}}^{2\mathrm{π}}\left({\mathrm{t}}^2{\sin }^2\mathrm{t}-\mathrm{tsintcost}+{\mathrm{t}}^2{\cos }^2\mathrm{t}+\mathrm{tsintcost}\right)\mathrm{dt} \\ {∫}_{\mathrm{C}}\mathbf{F}(\mathrm{x},\mathrm{y})·\mathrm{d}\mathbf{r}={∫}_{\mathrm{π}}^{2\mathrm{π}}\left({\mathrm{t}}^2{\sin }^2\mathrm{t}+{\mathrm{t}}^2{\cos }^2\mathrm{t}\right)\mathrm{dt} \\ {∫}_{\mathrm{C}}\mathbf{F}(\mathrm{x},\mathrm{y})·\mathrm{d}\mathbf{r}={∫}_{\mathrm{π}}^{2\mathrm{π}}{\mathrm{t}}^2\left({\sin }^2\mathrm{t}+{\cos }^2\mathrm{t}\right)\mathrm{dt} \\ {∫}_{\mathrm{C}}\mathbf{F}(\mathrm{x},\mathrm{y})·\mathrm{d}\mathbf{r}={∫}_{\mathrm{π}}^{2\mathrm{π}}{\mathrm{t}}^2·1\mathrm{dt} \\ {∫}_{\mathrm{C}}\mathbf{F}(\mathrm{x},\mathrm{y})·\mathrm{d}\mathbf{r}={∫}_{\mathrm{π}}^{2\mathrm{π}}{\mathrm{t}}^2\mathrm{dt} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} {∫}_{\mathrm{C}}\mathbf{F}(\mathrm{x},\mathrm{y})·\mathrm{d}\mathbf{r}={∫}_{\mathrm{π}}^{2\mathrm{π}}{\mathrm{t}}^2\mathrm{dt} \\ {∫}_{\mathrm{C}}\mathbf{F}(\mathrm{x},\mathrm{y})·\mathrm{d}\mathbf{r}={\left[\frac{{\mathrm{t}}^{2+1}}{2+1}\right]}_{\mathrm{π}}^{2\mathrm{π}} \\ {∫}_{\mathrm{C}}\mathbf{F}(\mathrm{x},\mathrm{y})·\mathrm{d}\mathbf{r}={\left[\frac{{\mathrm{t}}^3}{3}\right]}_{\mathrm{π}}^{2\mathrm{π}} \\ {∫}_{\mathrm{C}}\mathbf{F}(\mathrm{x},\mathrm{y})·\mathrm{d}\mathbf{r}=\left[\frac{{\left(2\mathrm{π}\right)}^3}{3}-\frac{{\left(\mathrm{π}\right)}^3}{3}\right] \\ {∫}_{\mathrm{C}}\mathbf{F}(\mathrm{x},\mathrm{y})·\mathrm{d}\mathbf{r}=\left[\frac{8{\mathrm{π}}^3}{3}-\frac{{\mathrm{π}}^3}{3}\right] \\ {∫}_{\mathrm{C}}\mathbf{F}(\mathrm{x},\mathrm{y})·\mathrm{d}\mathbf{r}=\frac{8{\mathrm{π}}^3-{\mathrm{π}}^3}{3} \\ {∫}_{\mathrm{C}}\mathbf{F}(\mathrm{x},\mathrm{y})·\mathrm{d}\mathbf{r}=\frac{7{\mathrm{π}}^3}{3} \end{gathered}$$