91Ó°ÊÓ

Let $\left\{a_k\right\}$be a sequence of positive terms.

$$\begin{gathered} \mathrm{Since},\frac{{\mathrm{a}}_{\mathrm{k}+1}}{{\mathrm{a}}_{\mathrm{k}}}â‰\yen 1,\mathrm{now}\mathrm{all}\mathrm{the}\mathrm{terms}\mathrm{of}\mathrm{the}\mathrm{sequence}\mathrm{are}\mathrm{positive},\mathrm{therefore}{\mathrm{a}}_{\mathrm{k}}\mathrm{is}\mathrm{also}\mathrm{positive}. \\ \mathrm{Now},\mathrm{multiply}\mathrm{the}\mathrm{inequality}\frac{{\mathrm{a}}_{\mathrm{k}+1}}{{\mathrm{a}}_{\mathrm{k}}}â‰\yen 1\mathrm{with}{\mathrm{a}}_{\mathrm{k}}.\mathrm{The}\mathrm{sign}\mathrm{of}\mathrm{the}\mathrm{inequality}\mathrm{will}\mathrm{not}\mathrm{change}\mathrm{as}{\mathrm{a}}_{\mathrm{k}}\mathrm{is}\mathrm{positive}. \\ \mathrm{Now},\frac{{\mathrm{a}}_{\mathrm{k}+1}}{{\mathrm{a}}_{\mathrm{k}}}\left({\mathrm{a}}_{\mathrm{k}}\right)â‰\yen \left({\mathrm{a}}_{\mathrm{k}}\right) \\ {\mathrm{a}}_{\mathrm{k}+1}â‰\yen {\mathrm{a}}_{\mathrm{k}}\mathrm{for}\mathrm{k}â‰\yen 1 \\ \mathrm{Hence},\mathrm{be}\mathrm{definition}\mathrm{the}\mathrm{sequence}\mathrm{is}\mathrm{increasing}\mathrm{sequence}. \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathrm{Since},\frac{{\mathrm{a}}_{\mathrm{k}+1}}{{\mathrm{a}}_{\mathrm{k}}}>1,\mathrm{now}\mathrm{all}\mathrm{the}\mathrm{terms}\mathrm{of}\mathrm{the}\mathrm{sequence}\mathrm{are}\mathrm{positive},\mathrm{therefore}{\mathrm{a}}_{\mathrm{k}}\mathrm{is}\mathrm{also}\mathrm{positive}. \\ \mathrm{Now},\mathrm{multiply}\mathrm{the}\mathrm{inequality}\frac{{\mathrm{a}}_{\mathrm{k}+1}}{{\mathrm{a}}_{\mathrm{k}}}>1\mathrm{with}{\mathrm{a}}_{\mathrm{k}}.\mathrm{The}\mathrm{sign}\mathrm{of}\mathrm{the}\mathrm{inequality}\mathrm{will}\mathrm{not}\mathrm{change}\mathrm{as}{\mathrm{a}}_{\mathrm{k}}\mathrm{is}\mathrm{positive}. \\ \mathrm{Now},\frac{{\mathrm{a}}_{\mathrm{k}+1}}{{\mathrm{a}}_{\mathrm{k}}}\left({\mathrm{a}}_{\mathrm{k}}\right)>\left({\mathrm{a}}_{\mathrm{k}}\right) \\ {\mathrm{a}}_{\mathrm{k}+1}>{\mathrm{a}}_{\mathrm{k}}\mathrm{for}\mathrm{k}â‰\yen 1 \\ \mathrm{Hence},\mathrm{be}\mathrm{definition}\mathrm{the}\mathrm{sequence}\mathrm{is}\mathrm{Strictly}\mathrm{increasing}\mathrm{sequence}. \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathrm{Since},\frac{{\mathrm{a}}_{\mathrm{k}+1}}{{\mathrm{a}}_{\mathrm{k}}}≤1,\mathrm{now}\mathrm{all}\mathrm{the}\mathrm{terms}\mathrm{of}\mathrm{the}\mathrm{sequence}\mathrm{are}\mathrm{positive},\mathrm{therefore}{\mathrm{a}}_{\mathrm{k}}\mathrm{is}\mathrm{also}\mathrm{positive}. \\ \mathrm{Now},\mathrm{multiply}\mathrm{the}\mathrm{inequality}\frac{{\mathrm{a}}_{\mathrm{k}+1}}{{\mathrm{a}}_{\mathrm{k}}}≤1\mathrm{with}{\mathrm{a}}_{\mathrm{k}}.\mathrm{The}\mathrm{sign}\mathrm{of}\mathrm{the}\mathrm{inequality}\mathrm{will}\mathrm{not}\mathrm{change}\mathrm{as}{\mathrm{a}}_{\mathrm{k}}\mathrm{is}\mathrm{positive}. \\ \mathrm{Now},\frac{{\mathrm{a}}_{\mathrm{k}+1}}{{\mathrm{a}}_{\mathrm{k}}}\left({\mathrm{a}}_{\mathrm{k}}\right)≤\left({\mathrm{a}}_{\mathrm{k}}\right) \\ {\mathrm{a}}_{\mathrm{k}+1}≤{\mathrm{a}}_{\mathrm{k}}\mathrm{for}\mathrm{k}â‰\yen 1 \\ \mathrm{Hence},\mathrm{be}\mathrm{definition}\mathrm{the}\mathrm{sequence}\mathrm{is}de\mathrm{creasing}\mathrm{sequence}. \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathrm{Since},\frac{{\mathrm{a}}_{\mathrm{k}+1}}{{\mathrm{a}}_{\mathrm{k}}}<1,\mathrm{now}\mathrm{all}\mathrm{the}\mathrm{terms}\mathrm{of}\mathrm{the}\mathrm{sequence}\mathrm{are}\mathrm{positive},\mathrm{therefore}{\mathrm{a}}_{\mathrm{k}}\mathrm{is}\mathrm{also}\mathrm{positive}. \\ \mathrm{Now},\mathrm{multiply}\mathrm{the}\mathrm{inequality}\frac{{\mathrm{a}}_{\mathrm{k}+1}}{{\mathrm{a}}_{\mathrm{k}}}<1\mathrm{with}{\mathrm{a}}_{\mathrm{k}}.\mathrm{The}\mathrm{sign}\mathrm{of}\mathrm{the}\mathrm{inequality}\mathrm{will}\mathrm{not}\mathrm{change}\mathrm{as}{\mathrm{a}}_{\mathrm{k}}\mathrm{is}\mathrm{positive}. \\ \mathrm{Now},\frac{{\mathrm{a}}_{\mathrm{k}+1}}{{\mathrm{a}}_{\mathrm{k}}}\left({\mathrm{a}}_{\mathrm{k}}\right)<\left({\mathrm{a}}_{\mathrm{k}}\right) \\ {\mathrm{a}}_{\mathrm{k}+1}<{\mathrm{a}}_{\mathrm{k}}\mathrm{for}\mathrm{k}â‰\yen 1 \\ \mathrm{Hence},\mathrm{be}\mathrm{definition}\mathrm{the}\mathrm{sequence}\mathrm{is}\mathrm{strictly}\mathrm{decreasing}\mathrm{sequence}. \end{gathered}$$