91Ó°ÊÓ

$\underset{k=1}{\overset{∞}{∑}}\frac{1}{k^2}$

$$\begin{gathered} \mathrm{Consider}\mathrm{the}\mathrm{function}\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\frac{1}{{\mathrm{x}}^2}. \\ \mathrm{The}\mathrm{function}\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\frac{1}{{\mathrm{x}}^2}\mathrm{is}\mathrm{continuous},\mathrm{decreasing},\mathrm{with}\mathrm{positive}\mathrm{terms}. \\ \mathrm{Therefore}\mathrm{all}\mathrm{the}\mathrm{conditions}\mathrm{of}\mathrm{integral}\mathrm{test}\mathrm{are}\mathrm{fulfilled}. \\ \mathrm{So},\mathrm{integral}\mathrm{test}\mathrm{is}\mathrm{applicable}. \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathrm{Consider}\mathrm{the}\mathrm{integral}:{∫}_{\mathrm{x}=1}^{∞}\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)\mathrm{dx}={∫}_{\mathrm{x}=1}^{∞}\frac{1}{{\mathrm{x}}^2}\mathrm{dx}. \\ \mathrm{Therefore}, \\ {∫}_{\mathrm{x}=1}^{∞}\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)\mathrm{dx}=\underset{\mathrm{k}→∞}{\lim }{∫}_{\mathrm{x}=1}^{\mathrm{k}}\frac{1}{{\mathrm{x}}^2}\mathrm{dx} \\ =\underset{\mathrm{k}→∞}{\lim }{\left[-\frac{1}{\mathrm{x}}\right]}_1^{\mathrm{k}}\left(\mathrm{Integrating}\right) \\ =\underset{\mathrm{k}→∞}{\lim }\left[-\frac{1}{\mathrm{k}}+1\right]\left(\mathrm{Substitution}\right) \\ =0+1 \\ =1 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathrm{The}\mathrm{value}\mathrm{of}\mathrm{the}\mathrm{integral}\mathrm{is}{∫}_{\mathrm{x}=1}^{∞}\frac{1}{{\mathrm{x}}^2}\mathrm{dx}=1 \\ \mathrm{The}\mathrm{integral}\mathrm{diverges}. \\ \mathrm{Thus},\mathrm{the}\mathrm{series}\underset{\mathrm{k}=1}{\overset{∞}{∑}}\frac{1}{{\mathrm{k}}^2}\mathrm{is}\mathrm{convergent}. \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathrm{The}\mathrm{value}\mathrm{of}{\mathrm{S}}_{10}\mathrm{is}: \\ {\mathrm{S}}_{10}=\frac{1}{1}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+...+\frac{1}{{10}^2} \\ =1+0.25+0.11+0.0625+...+0.01≈1.5487 \\ \mathrm{Therefore},\mathrm{the}{10}^{\mathrm{th}}\mathrm{term}\mathrm{in}\mathrm{the}\mathrm{sequence}\mathrm{of}\mathrm{partial}\mathrm{sums}\mathrm{to}\mathrm{approximate} \\ \mathrm{the}\mathrm{sum}\mathrm{of}\mathrm{the}\mathrm{series}\mathrm{is}{\mathrm{S}}_{10}≈1.5487 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathrm{If}\mathrm{a}\mathrm{function}\mathrm{a}\mathrm{is}\mathrm{continuous},\mathrm{positive},\mathrm{and}\mathrm{decreasing},\mathrm{and}\mathrm{if}\mathrm{the}\mathrm{improper} \\ \mathrm{Integral}{∫}_1^{∞}\mathrm{a}\left(\mathrm{x}\right)\mathrm{converges},\mathrm{then}\mathrm{the}\mathrm{nth}\mathrm{remainder},{\mathrm{R}}_{\mathrm{n}},\mathrm{for}\mathrm{the}\mathrm{series} \\ \underset{\mathrm{k}=1}{\overset{∞}{∑}}\mathrm{a}\left(\mathrm{k}\right)\mathrm{is}\mathrm{bounded}\mathrm{by}: \\ 0≤{\mathrm{R}}_{\mathrm{n}}≤{∫}_{\mathrm{n}}^{∞}\mathrm{a}\left(\mathrm{x}\right)\mathrm{dx} \\ \mathrm{Furthermore},\mathrm{if}{\mathrm{B}}_{\mathrm{n}}={∫}_{\mathrm{n}}^{∞}\mathrm{a}\left(\mathrm{x}\right)\mathrm{dx},\mathrm{then} \\ {\mathrm{S}}_{\mathrm{n}}≤\underset{\mathrm{k}=1}{\overset{∞}{∑}}\mathrm{a}\left(\mathrm{k}\right)≤{\mathrm{S}}_{\mathrm{n}}+{\mathrm{B}}_{\mathrm{n}} \\ \mathrm{The}\mathrm{result}\mathrm{gives}\mathrm{that}\mathrm{the}\mathrm{tenth}\mathrm{remainder}{\mathrm{R}}_{10},\mathrm{is}\mathrm{bounded}\mathrm{by}: \\ 0≤{\mathrm{R}}_{10}≤{∫}_{\mathrm{x}=10}^{∞}{\mathrm{x}}^{-2}\mathrm{dx}.....\left(1\right) \\ \mathrm{The}\mathrm{value}\mathrm{of}\mathrm{the}\mathrm{integral}{∫}_{\mathrm{x}=10}^{∞}{\mathrm{e}}^{-\mathrm{x}}\mathrm{dx}\mathrm{is}: \\ {∫}_{\mathrm{x}=10}^{∞}{\mathrm{x}}^{-2}\mathrm{dx}=0.1(\mathrm{Value}\mathrm{of}\mathrm{integral}\mathrm{solved}\mathrm{above}\mathrm{in}(\mathrm{a}\left)\right) \\ \mathrm{Therefore},\mathrm{equation}\left(1\right)\mathrm{becomes}: \\ 0≤{\mathrm{R}}_{10}≤\frac{1}{10} \\ 0≤{\mathrm{R}}_{10}≤0.1\left(\mathrm{Simplify}\right) \\ \mathrm{Therefore},\mathrm{the}\mathrm{bound}\mathrm{on}{10}^{\mathrm{th}}\mathrm{remainder},{\mathrm{R}}_{10}\mathrm{is}0.1 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathrm{Assume}{\mathrm{B}}_{10}≈0.1\mathrm{and}\underset{\mathrm{k}=1}{\overset{∞}{∑}}\mathrm{a}\left(\mathrm{k}\right)=\mathrm{L}. \\ \mathrm{Using}\mathrm{the}\mathrm{result}{\mathrm{S}}_{\mathrm{n}}≤\underset{\mathrm{k}=1}{\overset{∞}{∑}}\mathrm{a}\left(\mathrm{k}\right)≤{\mathrm{S}}_{\mathrm{n}}+{\mathrm{B}}_{\mathrm{n}},\mathrm{the}\mathrm{following}\mathrm{inequality}\mathrm{is}\mathrm{obtained}. \\ {\mathrm{S}}_{10}≤\mathrm{L}≤{\mathrm{S}}_{10}+{\mathrm{B}}_{10} \\ 1.5487≤\mathrm{L}≤1.5487+0.1\left(\mathrm{Substitution}\right) \\ 1.5487≤\mathrm{L}≤1.6487 \\ \mathrm{Therefore},\mathrm{the}\mathrm{interval}\mathrm{containing}\mathrm{the}\mathrm{sum}\mathrm{of}\mathrm{the}\mathrm{series}\mathrm{is}\mathrm{L}∈(1.5487,1.6487). \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathrm{To}\mathrm{find}\mathrm{the}\mathrm{smallest}\mathrm{value}\mathrm{of}\mathrm{n},\mathrm{find}\mathrm{n}\mathrm{such}\mathrm{that}\mathrm{following}\mathrm{holds}: \\ {∫}_{\mathrm{n}}^{∞}\mathrm{a}\left(\mathrm{x}\right)\mathrm{dx}≤{10}^{-6} \\ \frac{1}{\mathrm{n}}≤{10}^{-6} \\ \mathrm{n}â‰\yen 1000000 \\ \mathrm{Therefore},\mathrm{the}\mathrm{value}\mathrm{of}\mathrm{n}\mathrm{so}\mathrm{that}{\mathrm{R}}_{\mathrm{n}}≤{10}^{-6}\mathrm{holds}\mathrm{is}\mathrm{n}=1000000 \end{gathered}$$