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A function,$f(x,y)=e^{xy}$

$$\begin{gathered} \mathrm{The}\mathrm{first}-\mathrm{order}\mathrm{partial}\mathrm{derivatives}\mathrm{of}\mathrm{the}\mathrm{function}\mathrm{are}: \\ {f}_x(x,y)=\frac{∂\mathrm{f}}{∂\mathrm{x}}=y{e}^{xy}\mathrm{and}{f}_y(x,y)=\frac{∂\mathrm{f}}{∂\mathrm{y}}=x{e}^{xy} \\ \mathrm{Now},\mathrm{solve}\mathrm{the}\mathrm{system}\mathrm{of}\mathrm{equations}:y{e}^{xy}=0\mathrm{and}x{e}^{xy}=0,\mathrm{we}\mathrm{get}, \\ x=0\mathrm{and}y=0 \\ \mathrm{We}\mathrm{find}\mathrm{only}\mathrm{one}\mathrm{stationary}\mathrm{point}\mathrm{of}f,\mathrm{namely}:(0,0) \\ \mathrm{The}\mathrm{second}-\mathrm{order}\mathrm{partial}\mathrm{derivatives}\mathrm{of}\mathrm{the}\mathrm{function}\mathrm{are}: \\ {f}_{xx}(x,y)=\frac{{∂}^2\mathrm{f}}{∂{\mathrm{x}}^2}=y^2{e}^{xy},f_{yy}(x,y)=\frac{{∂}^2\mathrm{f}}{∂{\mathrm{y}}^2}=x^2{e}^{xy}\mathrm{and}{f}_{xy}(x,y)=\frac{{∂}^2\mathrm{f}}{∂\mathrm{x}∂\mathrm{y}}=y^2{e}^{xy}+e^{xy} \\ {f}_{xx}(0,0)=0,f_{yy}(0,0)=0\mathrm{and}{f}_{xy}(0,0)=1 \\ \mathrm{The}\mathrm{determinant}\mathrm{of}\mathrm{the}\mathrm{Hessian}\mathrm{is}: \\ det\left(H_f\left(x,y\right)\right)=\left(\frac{{∂}^2\mathrm{f}}{∂{\mathrm{x}}^2}\right)\left(\frac{{∂}^2\mathrm{f}}{∂{\mathrm{y}}^2}\right)-{\left(\frac{{∂}^2\mathrm{f}}{∂\mathrm{x}∂\mathrm{y}}\right)}^2 \\ det\left(H_f\left(0,0\right)\right)=0×0-1^2=-1 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathrm{If}f\mathrm{has}\mathrm{a}\mathrm{stationary}\mathrm{point}\mathrm{at}({\mathrm{x}}_0,{\mathrm{y}}_0),\mathrm{then} \\ \left(\mathrm{a}\right)f\mathrm{has}\mathrm{a}\mathrm{relative}\mathrm{maximum}\mathrm{at}(x_0,y_0)\mathrm{if}det\left(H_f\right(x_0,y_0\left)\right)>0\mathrm{with} \\ {f}_{xx}(x_0,y_0)<0or{f}_{yy}(x_0,y_0)<0. \\ \left(\mathrm{b}\right)f\mathrm{has}\mathrm{a}\mathrm{relative}\mathrm{minimum}\mathrm{at}(x_0,y_0)\mathrm{if}det\left(H_f\right(x_0,y_0\left)\right)>0\mathrm{with} \\ {f}_{xx}(x_0,y_0)>0\mathrm{or}{f}_{yy}(x_0,y_0)>0. \\ \left(\mathrm{c}\right)f\mathrm{has}\mathrm{a}\mathrm{saddle}\mathrm{point}\mathrm{at}(x_0,y_0)\mathrm{if}det\left(H_f\right(x_0,y_0\left)\right)<0. \\ \left(\mathrm{d}\right)\mathrm{If}det\left(H_f\right(x_0,y_0\left)\right)=0,\mathrm{no}\mathrm{conclusion}\mathrm{may}\mathrm{be}\mathrm{drawn}\mathrm{about}\mathrm{the}\mathrm{behavior}\mathrm{of} \\ f\mathrm{at}(x_0,y_0). \\ \mathrm{In}\mathrm{the}\mathrm{given}\mathrm{function},det\left(H_f\left(0,0\right)\right)=-1<0.\mathrm{Hence},\mathrm{the}\mathrm{given}\mathrm{function}\mathrm{has} \\ \mathrm{a}\mathrm{saddle}\mathrm{point}\mathrm{at}\left(0,0\right)\mathrm{with}f(0,0)=1 \end{gathered}$$

There are no absolute maximum and absolute minimum.