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A function,$g(x,y)=x^2+\sin y−3$

$$\begin{gathered} \mathrm{The}\mathrm{first}-\mathrm{order}\mathrm{partial}\mathrm{derivatives}\mathrm{of}\mathrm{the}\mathrm{function}\mathrm{are}: \\ {g}_x(x,y)=\frac{∂g}{∂\mathrm{x}}=2x\mathrm{and}{g}_y(x,y)=\frac{∂g}{∂\mathrm{y}}=\cos y \\ \mathrm{Now},\mathrm{solve}\mathrm{the}\mathrm{system}\mathrm{of}\mathrm{equations}:2x=0\mathrm{and}\cos y=0,\mathrm{we}\mathrm{get}, \\ x=0\mathrm{and}y=\left(2n+1\right)\frac{\mathrm{Ï€}}{2} \\ \mathrm{where},n\mathrm{is}\mathrm{an}\mathrm{integer} \\ S\mathrm{tationary}\mathrm{point}s\mathrm{of}gare:\left(0,\left(2n+1\right)\frac{\mathrm{Ï€}}{2}\right) \\ \mathrm{The}\mathrm{second}-\mathrm{order}\mathrm{partial}\mathrm{derivatives}\mathrm{of}\mathrm{the}\mathrm{function}\mathrm{are}: \\ {g}_{xx}(x,y)=\frac{{∂}^{2}g}{∂{\mathrm{x}}^2}=2,g_{yy}(x,y)=\frac{{∂}^{2}g}{∂{\mathrm{y}}^2}=-\sin y\mathrm{and}{g}_{xy}(x,y)=\frac{{∂}^{2}g}{∂\mathrm{x}∂\mathrm{y}}=0 \\ {g}_{xx}\left(0,\left(2n+1\right)\frac{\mathrm{Ï€}}{2}\right)=2,g_{yy}\left(0,\left(2n+1\right)\frac{\mathrm{Ï€}}{2}\right)=Â\pm 1\mathrm{and}{g}_{xy}\left(0,\left(2n+1\right)\frac{\mathrm{Ï€}}{2}\right)=0 \\ \mathrm{The}\mathrm{determinant}\mathrm{of}\mathrm{the}\mathrm{Hessian}\mathrm{is}: \\ det\left(H_g\left(x,y\right)\right)=\left(\frac{{∂}^{2}g}{∂{\mathrm{x}}^2}\right)\left(\frac{{∂}^{2}g}{∂{\mathrm{y}}^2}\right)-{\left(\frac{{∂}^{2}g}{∂\mathrm{x}∂\mathrm{y}}\right)}^2 \\ det\left(H_g\left(0,\left(2n+1\right)\frac{\mathrm{Ï€}}{2}\right)\right)=2×Â\pm 1-0=Â\pm 2 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathrm{If}g\mathrm{has}\mathrm{a}\mathrm{stationary}\mathrm{point}\mathrm{at}({\mathrm{x}}_0,{\mathrm{y}}_0),\mathrm{then} \\ \left(\mathrm{a}\right)g\mathrm{has}\mathrm{a}\mathrm{relative}\mathrm{maximum}\mathrm{at}(x_0,y_0)\mathrm{if}det\left(H_g\right(x_0,y_0\left)\right)>0\mathrm{with} \\ {g}_{xx}(x_0,y_0)<0or{g}_{yy}(x_0,y_0)<0. \\ \left(\mathrm{b}\right)g\mathrm{has}\mathrm{a}\mathrm{relative}\mathrm{minimum}\mathrm{at}(x_0,y_0)\mathrm{if}det\left(H_g\right(x_0,y_0\left)\right)>0\mathrm{with} \\ {g}_{xx}(x_0,y_0)>0\mathrm{or}{g}_{yy}(x_0,y_0)>0. \\ \left(\mathrm{c}\right)g\mathrm{has}\mathrm{a}\mathrm{saddle}\mathrm{point}\mathrm{at}(x_0,y_0)\mathrm{if}det\left(H_g\right(x_0,y_0\left)\right)<0. \\ \left(\mathrm{d}\right)\mathrm{If}det\left(H_g\right(x_0,y_0\left)\right)=0,\mathrm{no}\mathrm{conclusion}\mathrm{may}\mathrm{be}\mathrm{drawn}\mathrm{about}\mathrm{the}\mathrm{behavior}\mathrm{of} \\ g\mathrm{at}(x_0,y_0). \\ \mathrm{In}\mathrm{the}\mathrm{given}\mathrm{function},det\left(H_g\left(0,\frac{\left(2n+1\right)\mathrm{Ï€}}{2}\right)\right)>0\mathrm{with}{g}_{yy}\left(0,\frac{\left(2n+1\right)\mathrm{Ï€}}{2}\right)<0 \\ \mathrm{for}n=\mathrm{odd}\mathrm{integer} \\ \mathrm{Hence},\mathrm{the}\mathrm{given}\mathrm{function}\mathrm{has}\mathrm{minimum}\mathrm{at}\left(0,\frac{\left(2n+1\right)\mathrm{Ï€}}{2}\right)\mathrm{with}\mathrm{minimum}\mathrm{value}, \\ g\left(0,\frac{\left(2n+1\right)\mathrm{Ï€}}{2}\right)=2\left(0\right)+\sin \left(\frac{\left(2n+1\right)\mathrm{Ï€}}{2}\right)-3=-4 \\ \mathrm{Also},det\left(H_g\left(0,\frac{\left(2n+1\right)\mathrm{Ï€}}{2}\right)\right)<0\mathrm{for}n=\mathrm{even}\mathrm{integer} \\ \mathrm{Hence},\mathrm{the}\mathrm{given}\mathrm{function}\mathrm{has}\mathrm{saddle}\mathrm{points}\mathrm{at}\left(0,\frac{\left(2n+1\right)\mathrm{Ï€}}{2}\right)\mathrm{with}\mathrm{value}, \\ g\left(0,\frac{\left(2n+1\right)\mathrm{Ï€}}{2}\right)=2\left(0\right)+\sin \left(\frac{\left(2n+1\right)\mathrm{Ï€}}{2}\right)-3=-2 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathrm{When}y=0,\underset{x→∞}{\lim }f(x,0)=∞\mathrm{and}\underset{y→-∞}{\lim }f(x,0)=∞ \\ \mathrm{Therefore},\mathrm{the}\mathrm{given}\mathrm{function}\mathrm{has}\mathrm{local}\mathrm{minim}a\mathrm{at}\left(0,\frac{\left(2n+1\right)\mathrm{π}}{2}\right) \\ \mathrm{when},n=\mathrm{odd}\mathrm{integer} \end{gathered}$$