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A function,$g(x,y)=x^3+6x^2+6y^2−4$

$$\begin{gathered} \mathrm{The}\mathrm{first}-\mathrm{order}\mathrm{partial}\mathrm{derivatives}\mathrm{of}\mathrm{the}\mathrm{function}\mathrm{are}: \\ {g}_x(x,y)=\frac{∂g}{∂\mathrm{x}}=3{\mathrm{x}}^2+12x\mathrm{and}{g}_y(x,y)=\frac{∂g}{∂\mathrm{y}}=12y \\ \mathrm{Now},\mathrm{solve}\mathrm{the}\mathrm{system}\mathrm{of}\mathrm{equations}:3{\mathrm{x}}^2+12x=0\mathrm{and}12y=0,\mathrm{we}\mathrm{get}, \\ x(3x+12)=0\mathrm{and}y=0 \\ ⇒x=0,x=-4andy=0 \\ \mathrm{We}\mathrm{find}\mathrm{two}\mathrm{stationary}\mathrm{point}s\mathrm{of}g,\mathrm{namely}:(0,0),(-4,0) \\ \mathrm{The}\mathrm{second}-\mathrm{order}\mathrm{partial}\mathrm{derivatives}\mathrm{of}\mathrm{the}\mathrm{function}\mathrm{are}: \\ {g}_{xx}(x,y)=\frac{{∂}^{2}g}{∂{\mathrm{x}}^2}=6x+12,g_{yy}(x,y)=\frac{{∂}^{2}g}{∂{\mathrm{y}}^2}=12\mathrm{and}{g}_{xy}(x,y)=\frac{{∂}^{2}g}{∂\mathrm{x}∂\mathrm{y}}=0 \\ {g}_{xx}(0,0)=12,g_{yy}(0,0)=12and{g}_{xy}(0,0)=0 \\ {g}_{xx}(-4,0)=-24,g_{yy}(-4,0)=12and{g}_{xy}(-4,0)=0 \\ \mathrm{The}\mathrm{determinant}\mathrm{of}\mathrm{the}\mathrm{Hessian}\mathrm{is}: \\ det\left(H_g\left(x,y\right)\right)=\left(\frac{{∂}^{2}g}{∂{\mathrm{x}}^2}\right)\left(\frac{{∂}^{2}g}{∂{\mathrm{y}}^2}\right)-{\left(\frac{{∂}^{2}g}{∂\mathrm{x}∂\mathrm{y}}\right)}^2 \\ det\left(H_g\left(0,0\right)\right)=12×12-0=144 \\ det\left(H_g\left(-4,0\right)\right)=-24×12-0=-288 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathrm{If}g\mathrm{has}\mathrm{a}\mathrm{stationary}\mathrm{point}\mathrm{at}({\mathrm{x}}_0,{\mathrm{y}}_0),\mathrm{then} \\ \left(\mathrm{a}\right)g\mathrm{has}\mathrm{a}\mathrm{relative}\mathrm{maximum}\mathrm{at}(x_0,y_0)\mathrm{if}det\left(H_g\right(x_0,y_0\left)\right)>0\mathrm{with} \\ {g}_{xx}(x_0,y_0)<0or{g}_{yy}(x_0,y_0)<0. \\ \left(\mathrm{b}\right)g\mathrm{has}\mathrm{a}\mathrm{relative}\mathrm{minimum}\mathrm{at}(x_0,y_0)\mathrm{if}det\left(H_g\right(x_0,y_0\left)\right)>0\mathrm{with} \\ {g}_{xx}(x_0,y_0)>0\mathrm{or}{g}_{yy}(x_0,y_0)>0. \\ \left(\mathrm{c}\right)g\mathrm{has}\mathrm{a}\mathrm{saddle}\mathrm{point}\mathrm{at}(x_0,y_0)\mathrm{if}det\left(H_g\right(x_0,y_0\left)\right)<0. \\ \left(\mathrm{d}\right)\mathrm{If}det\left(H_g\right(x_0,y_0\left)\right)=0,\mathrm{no}\mathrm{conclusion}\mathrm{may}\mathrm{be}\mathrm{drawn}\mathrm{about}\mathrm{the}\mathrm{behavior}\mathrm{of} \\ g\mathrm{at}(x_0,y_0). \\ \mathrm{In}\mathrm{the}\mathrm{given}\mathrm{function},det\left(H_g\left(0,0\right)\right)=144>0\mathrm{with}{g}_{xx}\left(0,0\right)=12>0 \\ \mathrm{Hence},\mathrm{the}\mathrm{given}\mathrm{function}\mathrm{has}\mathrm{minimum}\mathrm{at}\left(0,0\right)\mathrm{with}\mathrm{minimum}\mathrm{value}, \\ g\left(0,0\right)=0^3+6{\left(0\right)}^2+6{\left(0\right)}^2-4=-4 \\ \mathrm{Also},\det \left({\mathrm{H}}_{\mathrm{g}}\left(-4,0\right)\right)=-288<0\mathrm{Hence},\mathrm{the}\mathrm{given}\mathrm{function}\mathrm{has}\mathrm{saddle}\mathrm{point} \\ \mathrm{at}\left(-4,0\right)\mathrm{with}\mathrm{g}\left(-4,0\right)={\left(-4\right)}^3+6{\left(-4\right)}^2+6{\left(0\right)}^2-4=28 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathrm{When}y=0,\underset{x→∞}{\lim }f(x,0)=∞\mathrm{and}\underset{x→-∞}{\lim }f(x,0)=-∞ \\ \mathrm{Therefore},\mathrm{the}\mathrm{given}\mathrm{function}\mathrm{has}\mathrm{local}\mathrm{minimum}\mathrm{at}\left(0,0\right)\mathrm{and}\mathrm{saddle}\mathrm{point}\mathrm{at}(-4,0) \end{gathered}$$