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The Fundamental Theorem of Calculus .

Before we get to the proofs, let’s first state the Fundamental Theorem of Calculus and the Inverse Fundamental Theorem of Calculus. When we do prove them, we’ll prove ${FTC}^{-1}$before we prove FTC.

role="math" localid="1648633044440" $$\begin{gathered} \mathrm{If}\mathrm{F}0\mathrm{is}\mathrm{continuous}\mathrm{on}[\mathrm{a},\mathrm{b}],\mathrm{then} \\ {∫}_{\mathrm{a}}^{\mathrm{b}}{\mathrm{F}}^{\text{'}}\left(\mathrm{x}\right)\mathrm{dx}=\mathrm{F}\left(\mathrm{b}\right)−\mathrm{F}\left(\mathrm{a}\right) \\ \mathrm{In}\mathrm{other}\mathrm{words},\mathrm{if}\mathrm{F}\mathrm{is}\mathrm{an}\mathrm{antiderivative}\mathrm{of}\mathrm{f},\mathrm{then} \\ {∫}_{\mathrm{a}}^{\mathrm{b}}\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)\mathrm{dx}=\mathrm{F}\left(\mathrm{b}\right)−\mathrm{F}\left(\mathrm{a}\right) \\ \mathrm{A}\mathrm{common}\mathrm{notation}\mathrm{for}\mathrm{F}\left(\mathrm{b}\right)-\mathrm{f}\left(\mathrm{a}\right)\mathrm{is}\overline{)\mathrm{F}\left(\mathrm{x}\right)}\begin{array}{c}\mathrm{b}\\ \mathrm{a}\end{array} \\ \mathrm{There}\mathrm{are}\mathrm{stronger}\mathrm{statements}\mathrm{of}\mathrm{these}\mathrm{theorems}\mathrm{that}\mathrm{don}’\mathrm{t}\mathrm{have} \\ \mathrm{the}\mathrm{continuity}\mathrm{assumptions}\mathrm{stated}\mathrm{here},\mathrm{but}\mathrm{these}\mathrm{are}\mathrm{the}\mathrm{ones}\mathrm{we}’\mathrm{ll} \\ \mathrm{prove}. \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} Iffisacontinuousfunctionontheclosedinterval[a,b], \\ andFisitsaccumulationfunctiondefinedby \\ F\left(x\right)={∫}_a^{x}f\left(t\right)dt \\ forxin[a,b],thenFisdifferentiableon[a,b]anditsderivativeisf, \\ thatis,F\text{'}\left(x\right)=f\left(x\right)forx∈[a,b]. \\ \frac{d}{dx}{∫}_a^{x}f\left(t\right)dt=f\left(x\right) \\ ProofoftheFT{C}^{−1}.Firstofall,\sin cefiscontinuous, \\ it’sintegrable,thatistosay, \\ F\left(x\right)={∫}_a^{x}f\left(t\right)dt \\ WeneedtoshowthatF\text{'}\left(x\right)=f\left(x\right).Bythedefinitionofderivatives, \\ F\text{'}\left(x\right)=\underset{h→0}{\lim }\frac{F(x+h)−F\left(x\right)}{h} \\ =\underset{h→0}{\lim }\frac{1}{h}\left({∫}_a^{x+h}f\left(t\right)dt-{∫}_a^{x}f\left(t\right)dt\right) \\ \underset{h→0}{=\lim }\frac{1}{h}{∫}_x^{x+h}f\left(t\right)dt \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathrm{We}’\mathrm{ll}\mathrm{now}\mathrm{go}\mathrm{on}\mathrm{to}\mathrm{prove}\mathrm{the}\mathrm{FTC}\mathrm{from}\mathrm{the}{\mathrm{FTC}}^{−1} \\ G\left(x\right)={∫}_a^{x}F\text{'}\left(t\right)dt \\ \mathrm{Then}\mathrm{by}\mathrm{ftc}−1,\mathrm{G}0\left(\mathrm{x}\right)=\mathrm{F}0\left(\mathrm{x}\right).\mathrm{Therefore},\mathrm{G}\mathrm{and}\mathrm{F}\mathrm{differ}\mathrm{by}\mathrm{a}\mathrm{constant}\mathrm{C}, \\ \mathrm{that}\mathrm{is},\mathrm{G}\left(\mathrm{x}\right)−\mathrm{F}\left(\mathrm{x}\right)=\mathrm{C}\mathrm{for}\mathrm{all}\mathrm{x}∈[\mathrm{a},\mathrm{b}] \\ \mathrm{but}, \\ \mathrm{G}\left(\mathrm{a}\right)={∫}_{\mathrm{a}}^{\mathrm{a}}\mathrm{F}\text{'}\left(\mathrm{t}\right)\mathrm{dt}=0 \\ \mathrm{and}\mathrm{G}\left(\mathrm{a}\right)−\mathrm{F}\left(\mathrm{a}\right)=\mathrm{C},\mathrm{so}\mathrm{C}=−\mathrm{F}\left(\mathrm{a}\right).\mathrm{Hence},\mathrm{G}\left(\mathrm{x}\right)−\mathrm{F}\left(\mathrm{x}\right)=−\mathrm{F}\left(\mathrm{a}\right)\mathrm{for}\mathrm{all}\mathrm{x}∈[\mathrm{a},\mathrm{b}]. \\ \mathrm{In}\mathrm{particular},\mathrm{G}\left(\mathrm{b}\right)−\mathrm{F}\left(\mathrm{b}\right)=−\mathrm{F}\left(\mathrm{a}\right),\mathrm{so}\mathrm{G}\left(\mathrm{b}\right)=\mathrm{F}\left(\mathrm{b}\right)−\mathrm{F}\left(\mathrm{a}\right),\mathrm{that}\mathrm{is}, \\ {∫}_{\mathrm{a}}^{\mathrm{b}}\mathrm{F}\text{'}\left(\mathrm{t}\right)\mathrm{dt}=\mathrm{F}\left(\mathrm{b}\right)-\mathrm{F}\left(\mathrm{a}\right). \end{gathered}$$