91Ó°ÊÓ

$$\begin{gathered} \mathrm{To}\mathrm{approximate}\mathrm{the}\mathrm{flow}\mathrm{f}\left(\mathrm{t}\right)\mathrm{of}\mathrm{the}\mathrm{Lochsa}\mathrm{River}\mathrm{in}\mathrm{its}\mathrm{flood}\mathrm{stage},\mathrm{we}\mathrm{can}\mathrm{use}\mathrm{a}\mathrm{function}\mathrm{of}\mathrm{the}\mathrm{form} \\ \mathrm{g}\left(\mathrm{t}\right)={\mathrm{c}}_1+{\mathrm{c}}_2\left(\sin \left(\frac{(\mathrm{t}-90)\mathrm{π}}{105}\right)-\frac{2}{\mathrm{π}}\right), \\ \mathrm{where}\mathrm{the}\mathrm{coefficients}\mathrm{c}1\mathrm{and}\mathrm{c}2\mathrm{are}\mathrm{found}\mathrm{by}\mathrm{evaluating}\mathrm{the}\mathrm{following}\mathrm{two}\mathrm{integrals}: \\ {\mathrm{c}}_1=\frac{1}{105}{∫}_{90}^{195}\mathrm{f}\left(\mathrm{t}\right)\mathrm{dt}, \\ {\mathrm{c}}_2=\frac{1}{9.95}{∫}_{90}^{195}\mathrm{f}\left(\mathrm{t}\right)\left(\sin \left(\frac{(\mathrm{t}-90)\mathrm{π}}{105}\right)-\frac{2}{\mathrm{π}}\right)\mathrm{dt}. \\ T\mathrm{he}\mathrm{data}\mathrm{points}(\mathrm{t},\mathrm{f}(\mathrm{t}\left)\right)=(90,2100),(120,6300),(150,11000),\mathrm{and}(180,4000) \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathrm{Formula}\mathrm{used}: \\ \mathrm{If}\mathrm{f}\mathrm{is}\mathrm{defined}\mathrm{on}\mathrm{a}\mathrm{closed}\mathrm{interval}[\mathrm{a},\mathrm{b}]\mathrm{and}{\mathrm{c}}_{\mathrm{k}}\mathrm{is}\mathrm{any}\mathrm{point}\mathrm{in}[{\mathrm{x}}_{\mathrm{k}-1},{\mathrm{x}}_{\mathrm{k}}] \\ \mathrm{then}\mathrm{a}\mathrm{Riemann}\mathrm{sum}\mathrm{is}\mathrm{defined}\mathrm{as}\underset{\mathrm{k}=1}{\overset{\mathrm{n}}{∑}}\mathrm{f}\left({\mathrm{c}}_{\mathrm{k}}\right)∆\mathrm{x}. \\ \mathrm{Calculation}:\mathrm{From}\mathrm{the}\mathrm{given}\mathrm{data}\mathrm{points},\mathrm{we}\mathrm{can}\mathrm{write}\mathrm{as} \\ ({\mathrm{t}}_1.\mathrm{f}({\mathrm{t}}_1\left)\right)=(90,2100) \\ ({\mathrm{t}}_2,\mathrm{f}({\mathrm{t}}_2\left)\right)=(120,6300) \\ ({\mathrm{t}}_3,\mathrm{f}({\mathrm{t}}_3\left)\right)=(150,11000) \\ ({\mathrm{t}}_4.\mathrm{f}({\mathrm{t}}_4\left)\right)=(180,4000) \\ \mathrm{Here}\mathrm{we}\mathrm{use}\mathrm{the}\mathrm{left}\mathrm{end}\mathrm{points}\mathrm{of}4\mathrm{rectangles}\mathrm{on}\mathrm{the}\mathrm{interval}[90.210]. \\ \mathrm{The}\mathrm{width}\mathrm{of}\mathrm{each}\mathrm{rectangle}\mathrm{is}\mathrm{differ}\mathrm{by}30\mathrm{and}\mathrm{the}\mathrm{last}\mathrm{rectangle}\mathrm{by}15. \\ \mathrm{The}\mathrm{left}\mathrm{Riemann}\mathrm{sum}\mathrm{is}\mathrm{related}\mathrm{to}\mathrm{the}\mathrm{definite}\mathrm{integral}\mathrm{as}{∫}_{\mathrm{a}}^{\mathrm{b}}\mathrm{f}\left(\mathrm{t}\right)\mathrm{dt}=\underset{\mathrm{k}=1}{\overset{\mathrm{n}}{∑}}\mathrm{f}\left({\mathrm{t}}_{\mathrm{k}}\right)∆\mathrm{t}.\mathrm{where}∆\mathrm{t}=\frac{\mathrm{b}-\mathrm{a}}{\mathrm{n}}. \\ \mathrm{Now},{∫}_{190}^{195}\mathrm{f}\left(\mathrm{t}\right)\mathrm{dt}=\underset{\mathrm{k}=1}{\overset{3}{∑}}\mathrm{f}\left({\mathrm{t}}_{\mathrm{k}}\right)∆\mathrm{t} \\ \underset{\mathrm{k}=1}{\overset{3}{∑}}\mathrm{f}\left({\mathrm{t}}_{\mathrm{k}}\right)∆{\mathrm{t}}_{\mathrm{k}}=[∆{\mathrm{t}}_1\mathrm{f}({\mathrm{t}}_1)+∆{\mathrm{t}}_2\mathrm{f}({\mathrm{t}}_2)+∆{\mathrm{t}}_3\mathrm{f}({\mathrm{t}}_3\left)\right] \\ =30\left(2100\right)+30\left(6300\right)+30\left(11000\right)=582000 \\ {\mathrm{c}}_1=\frac{1}{105}{∫}_{90}^{195}\mathrm{f}\left(\mathrm{t}\right)\mathrm{dt}, \\ =\frac{1}{105}\left(582000\right)=5542.857 \\ {\mathrm{c}}_2=\frac{1}{9.95}{∫}_{90}^{195}\mathrm{f}\left(\mathrm{t}\right)\left(\sin \left(\frac{(\mathrm{t}-90)\mathrm{π}}{105}\right)-\frac{2}{\mathrm{π}}\right)\mathrm{dt}. \\ =\frac{1}{9.95}{∫}_{90}^{195}\mathrm{f}\left(\mathrm{t}\right)\left(\sin \left(\frac{(\mathrm{t}-90)\mathrm{π}}{105}\right)\right)\mathrm{dt}-\frac{2}{\mathrm{π}}\frac{1}{9.95}{∫}_{90}^{195}\mathrm{f}\left(\mathrm{t}\right)\mathrm{dt}. \\ \mathrm{let}\mathrm{h}\left(\mathrm{t}\right)=\mathrm{f}\left(\mathrm{t}\right)\sin \left(\frac{(\mathrm{t}-90)\mathrm{π}}{105}\right). \\ \mathrm{h}\left(90\right)=\mathrm{f}\left(90\right)\sin \left(\frac{(90-90)\mathrm{π}}{105}\right)=0 \\ \mathrm{h}\left(120\right)=\mathrm{f}\left(120\right)\sin \left(\frac{(120-90)\mathrm{π}}{105}\right)=98.69 \\ \mathrm{h}\left(150\right)=\mathrm{f}\left(150\right)\sin \left(\frac{(150-90)\mathrm{π}}{105}\right)=344.596 \end{gathered}$$$$\begin{gathered} \mathrm{Now},{∫}_{90}^{195}\mathrm{f}\left(\mathrm{t}\right)\left(\sin \left(\frac{(\mathrm{t}-90)\mathrm{π}}{105}\right)\right)\mathrm{dt}={∫}_{90}^{195}\mathrm{h}\left(\mathrm{t}\right)\mathrm{dt}=\underset{\mathrm{k}=1}{\overset{3}{∑}}\mathrm{h}\left({\mathrm{t}}_{\mathrm{k}}\right)∆\mathrm{t} \\ \underset{\mathrm{k}=1}{\overset{3}{∑}}\mathrm{h}\left({\mathrm{t}}_{\mathrm{k}}\right)∆{\mathrm{t}}_{\mathrm{k}}=[∆{\mathrm{t}}_1\mathrm{h}({\mathrm{t}}_1)+∆{\mathrm{t}}_2\mathrm{h}({\mathrm{t}}_2)+∆{\mathrm{t}}_3\mathrm{h}({\mathrm{t}}_3\left)\right] \\ =30\left(0\right)+30(98.69)+30(344.596)=13298.58 \\ {\mathrm{c}}_2=\frac{1}{9.95}{∫}_{90}^{195}\mathrm{f}\left(\mathrm{t}\right)\left(\sin \left(\frac{(\mathrm{t}-90)\mathrm{π}}{105}\right)-\frac{2}{\mathrm{π}}\right)\mathrm{dt}. \\ =\frac{1}{9.95}{∫}_{90}^{195}\mathrm{f}\left(\mathrm{t}\right)\left(\sin \left(\frac{(\mathrm{t}-90)\mathrm{π}}{105}\right)\right)\mathrm{dt}-\frac{2}{\mathrm{π}}\frac{1}{9.95}{∫}_{90}^{195}\mathrm{f}\left(\mathrm{t}\right)\mathrm{dt}. \\ =\frac{1}{9.95}(13298.58)-\frac{2}{\mathrm{π}}\frac{1}{9.95}\left(582000\right) \\ =35900.917 \end{gathered}$$

The graph of the function$g\left(t\right)=5,542.857-35,900.917\left(\sin \right(\frac{(t-90)\mathrm{Ï€}}{105})-\frac{2}{\mathrm{Ï€}})$is given by