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Rechnen Sie nach, daß das Polynom $$ p(x)=1+x+\frac{x^{2}}{2 !}+\cdots+\frac{x^{n}}{n !} $$ mit der Exponentialfunktion und ihren ersten n Ableitungen im Punkt \(x_{0}=0\) übereinstimmt.

Die vorangegangene Lösung des Approximationsproblems sagt: wenn ein Polynom n-ten Grades die Bedingungen (*) für \(x_{0}=0\) erfüllt, dann muß es so aussehen: $$ p(x)=f(0)+\frac{f^{\prime}(0)}{1 !} x+\frac{f^{\prime \prime}(0)}{2 !} x^{2}+\ldots+\frac{f^{(n)}(0)}{n !} x^{n} $$ Rechnen Sie nun noch nach, daß umgekehrt dieses Polynom \(p\) die Bedingungen (*) für \(x_{0}=0\) wirklich erfüllt, d.h., überprüfen Sie \(p(O), p^{\prime}(0), \ldots, p^{(n)}(0) .\) Damit gilt nun das folgende Zwischenergebnis.

Berechnen Sie sin 0,1 auf \(10^{-10}\) genau.

(a) Berechnen Sie sin \(\frac{\pi}{10^{\prime}}\) indem Sie die Sinusfunktion durch ihr fünftes Taylorpolynom (mit Entwicklungspunkt \(\left.x_{0}=0\right)\) approximieren. Wie genau ist der Wert für sin \(\frac{\pi}{10}\), den Sie auf diese Weise erhalten? (b) Berechnen Sie mit Hilfe eines Taylorpolynoms die zahl \(e^{0,3}\) init einem Fehler unter \(0,0001 .\) Hinweis zu (b). - Betrachten Sie die Funktion \(e^{x}\) auf dem Intervall \([0,1] .\) Dort hat die Exponentialfunktion (und alle ihre Ableitungen \(!\) ) als größten Wert die Zahl \(e \ldots\)

Bestimmen Sie das n-te Taylorpolynom \(p_{n}\) (mit Ent.wicklungspunkt \(\left.x_{o}\right)\) der Funktion \(f(x)=\ln (1+x)\).

Berechnen Sie \(\sqrt{38}\) auf drei Stellen genau.