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Chapter 3: Problem 9

Es sei \(L / K\) eine separable algebraische K枚rpererweiterung. Man zeige die Aquivalenz folgender Aussagen: (i) Jedes nicht-konstante separable Polynom in \(L[X]\) zerfallt vollst盲ndig in Linearfaktoren. (ii) Bei Wahl eines algebraischen Abechlusses \(\bar{K}\) von \(K\) und einer \(K\)-Finbettung. \(L \hookrightarrow R\) ist die Erweiterung \(R / L\) rein inwparabel. Man zeige, dass es zu einem K枚rper \(K\) stets einen. Erweiterungsk?rper \(L=\) \(K_{\text {wp }}\). mit den vorstehenden Eigenschaften gibt und dass dieser bis auf (nichtkanonische) Isomorphie eindeutig ist. Man nennt \(K_{\text {pep }}\) einen separubel algebroi-

Short Answer

Expert verified
In summary, we have shown that the two given statements (i) and (ii) are equivalent for a separable algebraic field extension L/K. We also demonstrated the existence and uniqueness of a separable algebraic closure K_wp for the given field K.

Step by step solution

01

Proving (i) implies (ii)

Suppose every non-constant separable polynomial in L[X] splits completely into linear factors. Let's consider an algebraic closure 饾渽 of K and a K-embedding L 鈫� R. We must show that the extension field R/L is purely inseparable. Let's consider an element x 鈭� R. Since R is algebraic over L and L is algebraic over K, x must be separable over K. Therefore, its minimal polynomial over L, say f(X) 鈭� L[X], must be separable (i.e. have distinct roots) as well. Since every non-constant separable polynomial in L[X] splits completely into linear factors, f(X) must split completely into linear factors in L[X]. This means x must be inseparable over L. Since x was an arbitrary element of R, the extension R/L is purely inseparable. Thus, (i) implies (ii).
02

Proving (ii) implies (i)

Assume that for an algebraic closure 饾渽 of K and a K-embedding L 鈫� R, the extension R/L is purely inseparable. Let's consider a non-constant separable polynomial in L[X], say g(X). Our aim is to show that g(X) splits completely into linear factors in L[X]. Let F(X) be the minimal polynomial of an element y 鈭� L over K. Since L is separable over K, F(X) must be separable, and hence, g(X) must also be separable. Now, let's consider the extension field R. Since R is algebraic over L and L is algebraic over K, R is algebraic over K. Thus, y is separable over K, and since the extension R/L is purely inseparable, y is inseparable over L. This means that the minimal polynomial of y over L must be of the form (X-y)^p for some prime p, and p divides the degree of g(X). Therefore, g(X) splits completely into linear factors in L[X]. Thus, (ii) implies (i). We have now shown that (i) implies (ii) and (ii) implies (i), so the two statements are equivalent.
03

Existence and uniqueness of separable algebraic closure K_wp

Define K^sep as union of all separable algebraic extensions of K. K^sep is an extension of K, and, by construction, every algebraic element in K^sep is separable over K. Suppose we have fields L1 and L2 with separable closures K_wp1 and K_wp2. There exists a K-embedding from K_wp1 to K_wp2 and vice versa, and these embeddings allow us to construct an isomorphism between K_wp1 and K_wp2. Thus, there exists a unique (up to isomorphism) separable algebraic closure of K, as required.

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Key Concepts

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Separables Polynom
Ein wesentliches Konzept in der Algebra ist das des separablen Polynoms. Ein Polynom wird als separabel bezeichnet, wenn es in einem Erweiterungsk枚rper vollst盲ndig in Linearfaktoren zerf盲llt und alle diese Linearfaktoren verschiedene Wurzeln haben. Das bedeutet, das Polynom hat keine mehrfachen Nullstellen. Dies ist besonders wichtig, da es impliziert, dass das Polynom eine bestimmte Art von Gleichungen repr盲sentiert, die sich gut verhalten und einfacher zu analysieren sind.

Durch den Fundamentalsatz der Algebra wissen wir, dass jedes nicht-konstante Polynom 眉ber den komplexen Zahlen in Linearfaktoren zerf盲llt. Jedoch, im Kontext der algebraischen K枚rpererweiterungen, betrachten wir Erweiterungen von K枚rpern, die nicht notwendigerweise die komplexen Zahlen sind. Hier bedeutet die Separabilit盲t, dass ein solches Polynom, wenn es 眉ber einem Erweiterungsk枚rper betrachtet wird, in Linearfaktoren ohne Mehrfachwurzeln zerfallen kann.
Linearfaktoren
Die Zerlegung in Linearfaktoren ist im Grunde die Darstellung eines Polynoms als Produkt von Polynomen ersten Grades, das hei脽t Faktoren der Form (X - a), wobei a eine Wurzel des urspr眉nglichen Polynoms ist. F眉r ein Polynom p(X), das vollst盲ndig in Linearfaktoren in einem gegebenen K枚rper zerf盲llt, sieht das so aus:

p(X) = (X - a_1)(X - a_2)...(X - a_n),

wobei die a_i die Nullstellen des Polynoms sind. Jeder Faktor entspricht einer Nullstelle des Polynoms. Wenn alle Nullstellen verschieden sind, ist das Polynom separabel. Die Separabilit盲t garantiert, dass wir eine klare Eins-zu-eins-Beziehung zwischen den Faktoren und den Nullstellen haben.
Rein inseparable Erweiterung
Eine rein inseparable Erweiterung ist das Gegenteil einer separablen Erweiterung. In einer rein inseparablen Erweiterung hat jedes Element als minimales Polynom ein Polynom, in dem jede Wurzel eine Potenz einer Primzahl ist. Diese Art von Erweiterungen treten auf, wenn wir mit K枚rpern arbeiten, die eine charakteristische Primzahl p haben und Elemente enth盲lt, deren minimale Polynome Nicht-Linearfaktoren der Form (X - a)^p enthalten. In unserem Kontext bedeutet rein inseparable Erweiterung, dass nach einer Einbettung von L in einen algebraischen Abschluss von K, die Erweiterung R/L nur solche Elemente enth盲lt, deren minimale Polynome die zuvor genannte Form haben.
Algebraischer Abschluss
Der algebraische Abschluss eines K枚rpers K, oft bezeichnet mit \(\bar{K}\), ist ein Erweiterungsk枚rper, in dem jedes nicht-konstante Polynom mit Koeffizienten aus K in Linearfaktoren zerf盲llt. Hier ist jedes Element algebraisch 眉ber K, d.h. es ist Wurzel eines Polynoms mit Koeffizienten aus K. Der algebraische Abschluss ist bis auf Isomorphie eindeutig. Das Interessante am algebraischen Abschluss ist, dass er eine Art 'Vollst盲ndigkeit' f眉r das L枚sen von Polynomgleichungen bietet: Er gibt uns einen Rahmen, in dem alle Polynomgleichungen gel枚st werden k枚nnen.
Separable algebraic closure
Die separable algebraische Abschlie脽ung eines K枚rpers K, oft mit \(K^\text{sep}\) oder \(K_{\text{wp}}\) bezeichnet, ist ein Erweiterungsk枚rper, in dem jedes algebraische Element separabel 眉ber K ist. Das bedeutet, dass diese Erweiterung aus allen separablen algebraischen Erweiterungen von K besteht. Die Eigenschaft der Separabilit盲t ist w眉nschenswert in K枚rpererweiterungen, da sie Komplikationen vermeidet, die durch Mehrfachwurzeln entstehen. Zudem ist eine solche Abschlie脽ung eindeutig bis auf Isomorphie, 盲hnlich wie der algebraische Abschluss, was f眉r algebraische Untersuchungen eine wichtige Konsistenz sichert.

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